Олимпиадные задачи из источника «20 турнир (1998/1999 год)» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i>, пересеклись второй раз в точке <i>F</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>AFD</i> проходит через точку <i>E</i> пересечения отрезков <i>AC</i> и <i>BD</i>.

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.

Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.

Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.