Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

У Карлсона есть 1000 банок с вареньем. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой не больше чем сотая часть всего варенья. На завтрак Карлсон может съесть поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы за некоторое количество завтраков съесть всё варенье.

Найдите наибольшее натуральное число <i>N</i>, для которого уравнение  99<i>x</i> + 100<i>y</i> + 101<i>z = N</i>  имеет единственное решение в натуральных числах <i>x, y, z</i>.

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.

  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?

  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, которая бьет нечётное число ладей. Какое наибольшее число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.)

Палиндром – это натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1, 343 и 2002 палиндромы).

Найдутся ли 2005 пар вида  (<i>n, n</i> + 110),  где оба числа – палиндромы?