Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника <i>P</i> и <i>Q</i>. Для каждой стороны многоугольника <i>P</i> многоугольник <i>Q</i> можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через <i>h</i> расстояние между этими прямыми, а через <i>l</i> – длину стороны и вычислим произведение <i>lh</i>. Просуммировав такие произведения по всем сторонам <i>P</i>, получим некоторую величину  (<i>P, Q</i>).  Докажите, что  (<i>P, Q</i>) = (<i>Q, P</i>).

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд <i>N</i> одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до <i>N</i> и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.

  a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для  <i>N = a</i>  и для  <i>N = b</i>,  то есть способ и для  <i>N = ab</i>.

  б) Найдите все значения <i>N</i>, для которых у фокусника...

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид ¹/_<i>k</i>, где <i>k</i> натуральное.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины соответственно сторон <i>AB, BC, CD, AD</i>.

Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>PKL, PLM, PMN</i> и <i>PNK</i> равны.

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. <i>Моментом</i> гири называется произведение <i>ms</i> массы гири <i>m</i> на расстояние <i>s</i> он нее до середины отрезка.)