Олимпиадные задачи из источника «30 турнир (2008/2009 год)» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями
30 турнир (2008/2009 год)
НазадДана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i>. Точка <i>A</i><sub>1</sub> – это точка пересечения описанной окружности треугольника <i>BCD</i> с прямой <i>AC</i>,
отличная от <i>C</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, <i>D</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> – тоже трапеция.
Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?
В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>30</sub>. Докажите, что на дугах <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, ..., <i>A</i><sub>30</sub><i>A</i><sub>1</sub> можно отметить по одной точке (<i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B</i><sub>30</sub> соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>...
Решите систему уравнений (<i>n</i> > 2) <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif"> <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif"> <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> = 1.
У Алёши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алёша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Серёжа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос – и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Серёжа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алёшей равно количеству различных чисел среди записанных Серёжей.