Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 4 с решениями

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось

100 кучек по одному камешку. Докажите, что

  а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

  б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

  в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?