Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 5-10 класса - сложность 1-3 с решениями
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
НазадВнутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> существуют такие целые числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, что при всех целых <i>x</i> число
(...((<i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub>)² + <i>a</i><sub>2</sub>)² + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>)² + <i>a<sub>n</sub></i> делится на 2<i>n</i> – 1.
Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.
В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож <i>N</i>-го разряда <i>N</i> суток дежурит, потом <i>N</i> суток спит, снова <i>N</i> суток дежурит, <i>N</i> – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)