Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Шеренга состоит из <i>N</i> ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после  <i>N</i> – 1  такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной <i>h</i> (надрез – это сегмент круга, <i>h</i> – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если

  а)  <i>h</i> = 17 см;

  б)  <i>h</i> = 18 см?

Дан вписанный четырёхугольник <i>АВСD</i>. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>К</i> и <i>N</i> – середины диагоналей.

Докажите, что сумма углов <i>PKQ</i> и <i>PNQ</i> равна 180°.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.