Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

В квадрате 10×10 все клетки левого верхнего квадрата 5×5 закрашены чёрным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)

Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 60°, <i>H</i> – точка пересечения высот. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>HC</i> второй раз пересекает прямые <i>CA</i> и <i>CB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AN</i> и <i>BM</i> параллельны (или совпадают).

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?