Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса?

Даны параллелограмм <i>ABCD</i> и такая точка <i>K</i>, что  <i>AK = BD</i>.  Точка <i>M</i> – середина <i>CK</i>. Докажите, что  ∠<i>BMD</i> = 90°.

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.

  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.

  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.

Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

Взяли пять натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму.

Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами?