Олимпиадные задачи из источника «9-10 класс» для 6-10 класса
9-10 класс
НазадМарсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры <i>MK</i><sub>1</sub>, <i>MK</i><sub>2</sub>, ..., <i>MK<sub>n</sub></i> к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif"> (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif"> где <i>O</i> – центр тетраэдра....
На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:
0, × ×, 0 × × × × 0, × 0 ×, ... .
а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.
б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.
Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].