Олимпиадные задачи из источника «4 турнир (1982/1983 год)» для 10 класса
4 турнир (1982/1983 год)
Назад<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i><sub>1</sub> – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i><sub>2</sub> – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i><sub>1</sub> отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i><sub>2</sub> не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i> ≤ <i>n</i> почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
В Швамбрании <i>N</i> городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение <i>N</i>! способами.
Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких чисел <i>a, b, c, d, e</i>, что каждое из чисел этой пятёрки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры <i>MK</i><sub>1</sub>, <i>MK</i><sub>2</sub>, ..., <i>MK<sub>n</sub></i> к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif"> (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif"> где <i>O</i> – центр тетраэдра....
Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].
а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?