Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 2-10 класса - сложность 3-4 с решениями
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
НазадДано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что
а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;
б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.
Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)
В отель ночью приехали $100$ туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера $1$, $2, \ldots, n$, из которых $k$ на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остаётся там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого $k$ укажите наименьшее $n$, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.
В ряд лежат $100N$ бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Федор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Федор за одно<i>действие</i>съедает один бутерброд с одного из краев. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Федор каждый<i>ход</i>делает по $100$ действий подряд, а кот Матроскин делает только $1$ действие; дядя Федор ходит первым, кот Матроскин вторым, далее ходы чередуются до тех пор, пока дядя Федор не доест все бутерброды. Дядя Федор выигрывает, если последний съеденный им бутерброд был с колбасой. Верно ли, что при каждом натуральном $N$ он сможет выиграть независимо от ходов кота Матроскина?
Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.