Олимпиадные задачи из источника «45 турнир (2023/2024 год)» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?

В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку<i>хорошей</i>, если сумма чисел строки, содержащей эту клетку, не меньше, чем сумма чисел столбца, содержащего эту клетку. Найдите наименьшее возможное количество хороших клеток.

Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.

Дано натуральное число $n$. Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?

Дан многочлен степени $n$ > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.<img width="600" src="/storage/problem-media/67433/problem_67433_img_2.png">

В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$<i>хорошей</i>, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 1 больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 3 больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?

В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?

Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, 5!! = 15, 6!! = 48).

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. Можно назвать положительную дробь $y$, меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как за два таких действия гарантированно узнать $x$?

В математическом кружке 45 школьников, некоторые дружат. Как ни разбивай их на тройки, в какой-то тройке все будут друг с другом дружить. Докажите, что всех школьников можно разбить на тройки так, чтобы в каждой тройке хотя бы какие-то двое дружили друг с другом.

Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на $N$ частей. При каждом ли $N$ ≥ 10 все части могли получиться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?<img width="200" src="/storage/problem-media/67424/problem_67424_img_2.png">

В последовательности действительных чисел $a_1$, $a_2$, ... каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y = x^2 + a_nx + a_{n+1}$ (где $n$ = 1, 2, 3, ...) имеют общую точку.

Есть $N$ удавов, их пасти имеют размеры 1 см, 2 см, ..., $N$ см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду нельзя определить, какая у кого пасть. Вечером смотритель может выдать каждому удаву сколько хочет яблок каких хочет размеров, и за ночь удав заглотит все те из них, что влезают ему в пасть. Какое минимальное количество яблок суммарно смотритель должен вечером выдать удавам, чтобы утром по результату он гарантированно определил размер пасти каждого удава?

Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке ниже. Три больших треугольника равны между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника $ABC$.<img src="/storage/problem-media/67420/problem_67420_img_2.png">

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.

Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник. а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата? б) Может ли количество прямоугольников равняться 23?

Для какого наибольшего $N$ существует $N$-значное число со свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?

Для каждого многочлена степени 45 с коэффициентами 1, 2, 3, ..., 46 (в каком-то порядке) Вася выписал на доску все его различные действительные корни. Затем он увеличил все числа на доске на 1. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных или отрицательных?

У Васи есть 13 одинаковых на вид гирь, но 12 из них весят одинаково, а одна фальшивая – весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов – одни правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы на чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы. Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за 3 взвешивания.

Дан треугольник $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$. Его вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $D$, а вневписанная окружность, касающаяся стороны $AC$, касается продолжения стороны $AB$ в точке $E$. Докажите, что перпендикуляр к стороне $AC$, проходящий через точку $D$, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек $E$ и $C$. (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)

Назовём двуклетчатую карточку $2\times 1$<i>правильной</i>, если в ней записаны два натуральных числа, причём число в верхней клетке меньше числа в нижней клетке. За ход разрешается изменить оба числа на карточке: либо прибавить к каждому одно и то же целое число (возможно, отрицательное), либо умножить каждое на одно и то же натуральное число, либо разделить каждое на одно и то же натуральное число; при этом карточка должна остаться правильной. За какое наименьшее количество таких ходов из любой правильной карточки можно получить любую другую правильную карточку?