Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
НазадСуществует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 5 других?