Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 9-10 класс» - сложность 1-4 с решениями

Дана трапеция <i>ABCD</i>, <i>M</i> – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона <i>AB</i> перпендикулярна основаниям <i>AD</i> и <i> BC</i> и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника <i> DCM</i>, если радиус этой окружности равен <i>r</i>.

На окружности имеется 21 точка.

Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.

Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Существует ли такое <i>N</i> и такие  <i>N</i> – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., <i>N</i>,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?