Олимпиадные задачи из источника «08 (1985)» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя, Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор: Беня — Вене: "ты врун"; Женя — Бене: "сам ты врун"; Сеня — Жене: "да оба они вруны, — (подумав), — впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?

Известно, что число  <i>a</i> + ¹/_<i>a</i>  – целое. Докажите, что число  <i>a</i>² + ¹/_<i>a</i>²  – тоже целое.

Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться,чтобы получившееся число делилось на 9.