Олимпиадные задачи из источника «11 (1988)» для 2-11 класса - сложность 2-4 с решениями

В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:

  1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;

  2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.

  а) Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке?

  б) А дни недели?

Доказать неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/32100/problem_32100_img_2.gif"> .

На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть покрашены в один цвет). Хватит ли для такой раскраски двух цветов?

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

Пусть<i>A, B</i>и<i>C</i>– три числа, большие 0 и меньшие 1,<i>K</i>– наибольшее из них. Докажите, что  1 – (1 –<i>A</i>)(1 –<i>B</i>)(1 –<i>C</i>) ><i>K</i>.

Прямая раскрашена в два цвета.

Докажите, что на ней найдутся такие три точки <i>A, B</i> и <i>C</i>, окрашенные в один цвет, что точка <i>B</i> является серединой отрезка <i>AC</i>.

В круге отметили точку. Разрежьте круг на  а) три;  б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.