Олимпиадные задачи из источника «12 (1989)» для 7 класса - сложность 2-4 с решениями

Можно ли подобрать такие два натуральных числа <i>X</i> и <i>Y</i>, что <i>Y</i> получается из <i>X</i> перестановкой цифр, и  <i>X + Y</i> = 9...9  (1111 девяток)?

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>– длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что   <i>a</i>α +<i>b</i>β +<i>c</i>γ ≥<i>a</i>β +<i>b</i>γ +<i>c</i>α.

Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных.

Каков наибольший возможный общий делитель чисел  9<i>m</i> + 7<i>n</i>  и  3<i>m</i> + 2<i>n</i>,  если числа <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей, кроме единицы?

Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989.

По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь из них?

Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы которого лежат на данных окружностях, а середина — в данной точке.

На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на турнир в МИМИНО?