Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» - сложность 3 с решениями
На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или<i> - </i>, второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1) не имеет решений в целых числах.
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.). <center> <img src="/storage/problem-media/109542/problem_109542_img_2.gif"> </center>На клетке, помеченной звездочкой, стоит<i>кентавр</i>– фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">
Решите в положительных числах систему уравнений <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Точка <i>O</i> – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром <i>O</i> касается всех боковых граней пирамиды. Точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок <i>AD</i> проходит через четвёртую точку касания.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> > 2 число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif"> делится на 8.
На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>взяты точки<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Диагональ<i> BD </i>пересекает стороны<i> AM </i>и<i> AN </i>треугольника<i> AMN </i>соответственно в точках<i> E </i>и<i> F </i>, разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка<i> K </i>, определяемая условиями<i> EK || AD </i>,<i> FK || AB </i>, лежит на отрезке<i> MN </i>.
На стороне <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i>. Медиана <i>AM</i> пересекает высоту <i>CH</i> и отрезок <i>BD</i> в точках <i>N</i> и <i>K</i> соответственно.
Докажите, что если <i>AK = BK</i>, то <i>AN</i> = 2<i>KM</i>.
На диагонали <i>AC</i> ромба <i>ABCD</i> взята произвольная точка <i>E</i>, отличная от точек <i>A</i> и <i>C</i>, а на прямых <i>AB</i> и <i>BC</i> – точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём
<i>AE = NE</i> и <i>CE = ME</i>. Пусть <i>K</i> – точка пересечения прямых <i>AM</i> и <i>CN</i>. Докажите, что точки <i>K, E</i> и <i>D</i> лежат на одной прямой.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Отрезки <i>AN</i> и <i>CM</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём <i>AO = CO</i>. Обязательно ли треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если а) <i>AM = CN</i>; б) <i>BM = BN</i>?