Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.
Множество клеток на клетчатой плоскости назовем <i>ладейно связным</i>, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.
Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c, c ≠ b</i>. Известно, что квадратные трёхчлены <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что <i>a + b</i> + 2<i>c</i> делится на 3.
Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа <i>a, b</i> и <i>c</i> (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(<i>a + b</i>) = <i>c</i>, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.
Длины сторон многоугольника равны <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что <i>f</i>(<i>a</i><sub>1</sub>) = <i>f</i>(<i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i>).
Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).
Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Дана последовательность<i> {x<sub>k</sub>} </i>такая, что<i> x<sub>1</sub>=</i>1,<i> x<sub>n+</sub></i>1<i>=n sin x<sub>n</sub>+</i>1. Докажите, что последовательность непериодична.
Приведённый квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет три различных корня, а уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0 – семь различных корней?