Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Множество клеток на клетчатой плоскости назовем <i>ладейно связным</i>, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.
Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Дана последовательность<i> {x<sub>k</sub>} </i>такая, что<i> x<sub>1</sub>=</i>1,<i> x<sub>n+</sub></i>1<i>=n sin x<sub>n</sub>+</i>1. Докажите, что последовательность непериодична.
Приведённый квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет три различных корня, а уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0 – семь различных корней?