Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В магическом квадрате <i>n×n</i>, составленном из чисел 1, 2, ..., <i>n</i>², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  <i>P</i>(2001) > ¹/₆₄.

<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что  <i>ab</i>(<i>a + b</i>)  делится на  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>².  Докажите, что  |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.