Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Из промежутка  (2^2<i>n</i>, 2^3<i>n</i>)  выбрано  2^{2<i>n</i>–1} + 1  нечётное число.

Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 10000  найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что

 0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .

Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что  <i>AM = AD</i>  и  <i>BK = BC</i>.  Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.