Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i><sub>1</sub> и <i>H</i><sub>2</sub> являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i><sub>2</sub> проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...
Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">
В стране <i>n</i> городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.
На прямой расположены2<i>k-</i>1белый и2<i>k-</i>1черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с<i> k </i>черными, а любой черный – хотя бы с<i> k </i>белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Числовое множество <i>M</i>, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов <i>a, b</i> из <i>M</i> число
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_2.gif"> рационально. Докажите, что для любого <i>a</i> из <i>M</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_3.gif"> рационально.
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>n</sub></i> строится следующим образом: <i>a</i><sub>0</sub> – некоторое натуральное число; <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = ⅕ <i>a<sub>n</sub></i>, если <i>a<sub>n</sub></i> делится на 5;
<i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a<sub>n</sub></i>], если <i>a<sub>n</sub></i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a<sub>n</sub></i> возрастает.
Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.
Вписанная в тетраэдр<i> ABCD </i>сфера касается его граней<i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>и<i> BCD </i>в точках<i> D<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> A<sub>1</sub> </i>соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки<i> A </i>и плоскости<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр<i> ABCD </i>.
Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>
sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.