Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны соответственно вершинам <i>B</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>AC</i> и <i>AB</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABB'</i> и <i>ACC'</i>, отличная от <i>A</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>PA</i>.
а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.
Найдите все такие пары (<i>x, y</i>) натуральных чисел, что <i>x + y = a<sup>n</sup>, x</i>² + <i>y</i>² = <i>a<sup>m</sup></i> для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.
Известно, что сумма цифр натурального числа <i>N</i> равна 100, а сумма цифр числа 5<i>N</i> равна 50. Докажите, что <i>N</i> чётно.
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?
В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (<i>k</i>-й сдвиг происходит на2<i><sup>k-</sup></i>1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?
В 12 часов дня "Запорожец" и "Москвич" находились на расстоянии 90 км и начали двигаться навстречу друг другу с постоянной скоростью. Через два часа они снова оказались на расстоянии 90 км. Незнайка утверждает, что "Запорожец" до встречи с "Москвичом" и "Москвич" после встречи с "Запорожцем" проехали в сумме 60 км. Докажите, что он неправ.
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.
В треугольнике <i>ABC</i> (<i> AB < BC</i>) точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>M</i> – середина стороны <i>AC, N</i> – середина дуги <i> ABC </i> описанной окружности.
Докажите, что ∠<i>IMA</i> = ∠<i>INB</i>.
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Найдите все такие пары (<i>a, b</i>) натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i> является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> равны. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает прямую <i>AD</i> в точке <i>P</i>. Перпендикуляр к <i>BP</i>, проходящий через точку <i>A</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>CD</i> параллельны.