Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 9 класса - сложность 3 с решениями
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны соответственно вершинам <i>B</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>AC</i> и <i>AB</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABB'</i> и <i>ACC'</i>, отличная от <i>A</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>PA</i>.
<i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {<i>a<sub>n</sub></i>} из натуральных чисел, что произведение <i>a<sub>n</sub>...a</i><sub><i>n</i>+9</sub> делится на сумму
<i>a<sub>n</sub> +... + a</i><sub><i>n</i>+9</sub> при любом натуральном <i>n</i>?
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.
В треугольнике <i>ABC</i> (<i> AB < BC</i>) точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>M</i> – середина стороны <i>AC, N</i> – середина дуги <i> ABC </i> описанной окружности.
Докажите, что ∠<i>IMA</i> = ∠<i>INB</i>.
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
Найдите все такие пары (<i>a, b</i>) натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i> является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.
Арифметическая прогрессия <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом <i>n</i> произведение <i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>+31</sub> делится на 2005.
Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110180/problem_110180_img_2.gif"> для <i>x</i> > 0 и натурального <i>n</i>.
Каких точных квадратов, не превосходящих 10<sup>20</sup>, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
Докажите, что для любого многочлена <i>P</i> с целыми коэффициентами и любого натурального <i>k</i> существует такое натуральное <i>n</i>, что <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>) делится на <i>k</i>.
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...