Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями
Сумма чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif"> для любого <i>i</i> = 1, 2, 3.
Докажите, что <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">
Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².
Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?
В таблице 2×<i>n</i> расставлены положительные числа так, что в каждом из <i>n</i> столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила <sup><i>n</i>+1</sup>/<sub>4</sub>.
Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> , где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i> (<i>AB < BC</i>). Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что <i>CP = CQ</i>, имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.