Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  <i>b</i> ≤ – ¼.

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а также пересекает сторону <i>BC</i>. Касательная <i>CL</i> к окружности ω такова, что отрезок <i>KL</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что отрезок <i>BT</i> равен по длине касательной, проведённой из точки <i>B</i> к ω.

Известно, что многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> – 1  делится на некоторый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x^k + c</i>_<i>k</i>–1<i>x</i>^<i>k</i>–1 + <i>c</i>_<i>k</i>–2<i>x</i>^<i>k</i>–2 + ... + <i>c</i>₁<i>x + c</i>₀  чётной степени <i>k</i>, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что <i>n</i> делится на  <i>k</i> + 1.

Биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.

Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.