Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 6-9 класса - сложность 1-4 с решениями
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что <i>b</i> ≤ – ¼.
Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?
На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что <i>AP = CQ</i> и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что <i>RX = RY</i>.
Пусть <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub> – натуральные числа, <i>a</i><sub>1</sub> < <i>a</i><sub>2</sub> < ... < <i>a</i><sub>10</sub>. Пусть <i>b<sub>k</sub></i> – наибольший делитель <i>a<sub>k</sub></i>, меньший <i>a<sub>k</sub></i>. Оказалось, что <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b</i><sub>10</sub>.
Докажите, что <i>a</i><sub>10</sub> > 500.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а также пересекает сторону <i>BC</i>. Касательная <i>CL</i> к окружности ω такова, что отрезок <i>KL</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что отрезок <i>BT</i> равен по длине касательной, проведённой из точки <i>B</i> к ω.
Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?
Докажите, что найдутся четыре таких целых числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю больших 1000000, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>abcd</i></sub>.
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Известно, что многочлен (<i>x</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> – 1 делится на некоторый многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>k</sup> + c</i><sub><i>k</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–1</sup> + <i>c</i><sub><i>k</i>–2</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–2</sup> + ... + <i>c</i><sub>1</sub><i>x + c</i><sub>0</sub> чётной степени <i>k</i>, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что <i>n</i> делится на <i>k</i> + 1.
Биссектрисы <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.