Олимпиадные задачи из источника «2005-2006» - сложность 4 с решениями

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Окружность с центром<i> I </i>, вписанная в грань<i> ABC </i>треугольной пирамиды<i> SABC </i>, касается отрезков<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>в точках<i> D </i>,<i> E </i>,<i> F </i>соответственно. На отрезках<i> SA </i>,<i> SB </i>,<i> SC </i>отмечены соответственно точки<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>так, что<i> AA'=AD </i>,<i> BB'=BE </i>,<i> CC'=CF </i>;<i> S' </i>– точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке<i> S </i>. Известно, что<i> SI </i>является высотой пирамиды...

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.