Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub><i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + <i>a</i><sub>2<i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub>, у которого каждый коэффициент <i>a<sub>i</sub></i> принадлежит отрезку [100, 101].
При каком минимальном натуральном <i>n</i> у такого многочлена может найтись действительный корень?
Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(<i>KLA, KLM</i>), ∠(<i>LMB, LMN</i>), ∠(<i>MNC, MNK</i>) и ∠(<i>NKD, NKL</i>) равны. (Через ∠(<i>PQR, PQS</i>) обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.
Все клетки квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до <i>n</i>². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером <i>a</i> ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем <i>a</i>. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?
Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.
По кругу стоят 10<sup>1000</sup> натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.
Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10<sup>1000</sup> последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω с центром <i>O</i>. Окружность Ω<sub>1</sub>, построенная на <i>AO</i> как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω<sub>2</sub> треугольника <i>OBC</i> в точке <i>S</i>, отличной от <i>O</i>. Касательные к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>A, S</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Аналогично на стороне <i>BC</i> выбраны точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>. Оказалось, что отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> имеют равные длины, пересекаются в одной точ...
В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.
Стозначное натуральное число <i>n</i> назовём <i>необычным</i>, если десятичная запись числа <i>n</i>³ заканчивается на <i>n</i>, а десятичная запись числа <i>n</i>² не заканчивается на <i>n</i>. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.