Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 2-9 класса - сложность 3 с решениями
В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.
Стозначное натуральное число <i>n</i> назовём <i>необычным</i>, если десятичная запись числа <i>n</i>³ заканчивается на <i>n</i>, а десятичная запись числа <i>n</i>² не заканчивается на <i>n</i>. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!<sup>100!</sup>·100!<sup>99!</sup>?
Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?
Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?
Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает <i>k</i> клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером <i>a</i>, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем <i>a</i>; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем <i>a</i>. При каком наименьшем <i>k</i> независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?