Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 3 с решениями
Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности, треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>AI</i> и <i>BI</i> пересекают биссектрису угла <i>CDB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что прямая <i>MI</i> проходит через середину дуги <i>ACB</i> окружности ω.
Действительные числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению <i>abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d</i> = 0.
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65255/problem_65255_img_2.gif">
Дано натуральное число <i>n</i> > 3. Назовём набор из <i>n</i> точек на координатной плоскости <i>допустимым</i>, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) <i>разделяет</i> допустимый набор точек, если либо выше графика <i>P</i>(<i>x</i>) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем <i>k</i> любой допустимый набор из <i>n</i> точек можно разделить многочленом степени не более <i>k</i>?
Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?
Пусть <i>n</i> > 1 – натуральное число. Выпишем дроби <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>, <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>, ..., <sup><i>n</i>–1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных <i>n</i> > 1 числа <i>f</i>(<i>n</i>) и <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC </i>проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>AH</i>. На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно так, что <i>QM</i> ⊥ <i>AC</i> и <i>PM</i> ⊥ <i>AB</i>. Описанная окружность треугольника <i>PMQ</i> пересекает прямую <i>BC</i> вторично в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>BH = CX</i>.
На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников <i>A, B, C</i> не нашлось трёх судей, один из которых считает, что <i>A</i> – лучший из трёх, а <i>B</i> – худший, другой – что <i>B</i> лучший, а <i>C</i> худший, а третий – что <i>C</i> лучший, а <i>A</i> худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников <i>A</i> и <i>B</i> тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором <i>AB < AC < BC</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>. Найдите угол <i>ABC</i>.
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB < AC</i>) вписан в окружность Ω. Пусть <i>M</i> – точка пересечения его медиан, а <i>AH</i> – высота. Луч <i>MH</i> пересекает Ω в точке <i>A'</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A'HB</i> касается прямой <i>AB</i>.
В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.
Натуральные числа <i>a, x</i> и <i>y</i>, большие 100, таковы, что <i>y</i>² – 1 = <i>a</i>²(<i>x</i>² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>x</i></sub>?
Параллелограмм <i>ABCD</i> таков, что ∠<i>B</i> < 90° и <i>AB < BC</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>. Оказалось, что ∠<i>EDA</i> = ∠<i>FDC</i>. Найдите угол <i>ABC</i>.