Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AM<sub>A</sub>, BM<sub>B</sub></i> и <i>CM<sub>C</sub></i> пересекаются в точке <i>M</i>. Построим окружность Ω<sub><i>A</i></sub>, проходящую через середину отрезка <i>AM</i> и касающуюся отрезка <i>BC</i> в точке <i>MA</i>. Аналогично строятся окружности Ω<sub><i>B</i></sub> и Ω<sub><i>C</i></sub>. Докажите, что окружности Ω<sub><i>A</i></sub>, Ω<sub><i>B</i></sub> и Ω<sub><i>C</i></sub> имеют общую точку.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>³</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³<i>b</i><sup>3</sup><i>c</i>³<i>d</i>³</sub>.
В стране есть <i>n</i> > 1 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города <i>X</i> подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до <i>n</i>, что на любом авиамаршруте, начинающемся в <i>X</i>, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями <i>x ± y ± z = n</i> (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (<i>x</i><sub>0</sub>, <i>y</i><sub>0</sub>, <i>z</i><sub>0</sub>) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка (<i>kx</i><sub>0</sub>, <i>ky</i><sub>0</sub>, <i>kz</i><sub>0</sub>) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, в котором <i>AC < BC; M</i> – середина стороны <i>AB</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая <i>CM</i> пересекает прямые <i>AC'</i> и <i>BC'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Перпендикуляр к прямой <i>AC'</i>, проведённый через точку <i>K</i>, перпендикуляр к прямой <i>BC'</i>, проведённый через точку <i>L</i>, и прямая <i>AB</i> образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.
На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?