Олимпиадные задачи из источника «10 (2017 год)» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Согласно одной неправдоподобной легенде, Коши и Буняковский очень любили по вечерам играть в дартс. Но мишень у них была необычная – секторы на ней были неравные, так что вероятности попасть в разные секторы были не одинаковы. Однажды Коши бросил дротик и попал в мишень. Следующим бросает Буняковский. Что более вероятно: что Буняковский попадёт в тот же сектор, в который попал Коши, или что он попадёт в следующий сектор по часовой стрелке? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66057/problem_66057_img_2.gif"></div>

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?

У одного островного племени есть обычай – во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным – сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.

Имеется <i>n</i> случайных векторов вида  (<i>y</i>₁, <i>y</i>₂, <i>y</i>₃),  где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор <i><b>a</b></i> с координатами  (<i>Y</i>₁, <i>Y</i>₂, <i>Y</i>₃).

  а) Найдите математическое ожидание случайной величины <i><b>a</b></i>².

  б) Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66053/problem_66053_img_2.gif">

Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.

  По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции "Таганская" до станции "Киевская", а вечером – обратно (см. схему). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66051/problem_66051_img_2.gif"></div>  Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через "Белорусскую") поезд идёт от "Киевской" до "Таганской" или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через "Павелецкую") – 11 минут.   По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:   - поезд, идущий против часо...

На бал пришли <i>n</i> семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины <i>X</i>  "Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши".

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:   а) наименьшее возможное число призёров турнира;   б) математическое ожидание числа призеров турнира.

  В школьном совете выбирают председателя. Кандидатов четверо: А, Б, В и Г. Предложена специальная процедура – каждый член совета должен записать на специальном листке кандидатов в порядке своих предпочтений. Например, АВГБ значит, что член совета на первое место ставит А, не очень возражает против В и считает, что он лучше, чем Г, зато меньше всего хотел бы видеть председателем Б. Первое место даёт кандидату 3 очка, второе – 2 очка, третье – 1 очко, а четвёртое – 0 очков. После сбора всех листков избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Победит тот, у кого наибольшая сумма очков.

  После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из все...

Игровой круг в телевикторине "Что? Где? Когда?" разбит на 13 одинаковых секторов. Секторы пронумерованы числами от 1 до 13. В каждом секторе в начале игры лежит конверт с вопросом. Игроки выбирают случайный сектор с помощью волчка со стрелкой. Если этот сектор уже выпадал прежде, то конверта в нём уже нет, и тогда играет следующий по часовой стрелке сектор. Если он тоже пуст, – следующий и т.д., пока не встретится непустой сектор. До перерыва игроки разыграли шесть секторов.

  а) Что более вероятно: что в числе разыгранных есть сектор №1 или что среди разыгранных есть сектор №8?

  б) Найдите вероятность того, что в результате оказались разыграны подряд шесть секторов с номерами от 1 до 6.

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью  <i>p</i> > 0,5,  и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной из утренних идей.