Олимпиадные задачи из источника «9 (2016 год)» для 6-9 класса - сложность 3 с решениями

  Преподаватель кружка по теории вероятностей откинулся в кресле и посмотрел на экран. Список записавшихся готов. Всего получилось <i>n</i> человек. Только они пока не по алфавиту, а в случайном порядке, в каком они приходили на занятие.

  "Надо отсортировать их в алфавитном порядке, – подумал преподаватель. – Пойду по порядку сверху вниз, и, если нужно, буду переставлять фамилию ученика вверх в подходящее место. Каждую фамилию придётся переставить не более одного раза".

  Докажите, что математическое ожидание числа фамилий, которые не придётся переставлять, равно  1 + ½ + &frac13; + ... + ¹/_<i>n</i>.

Поля шахматной доски пронумерованы по строкам сверху вниз числами от 1 до 64. На доску случайным образом поставлено шесть ладей, которые не бьют друг друга (одна из возможных расстановок показана на рисунке). Найдите математическое ожидание суммы номеров полей, занятых ладьями. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65786/problem_65786_img_2.gif"></div>

  Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.

  Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: "Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу", и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.

Высокий прямоугольник ширины 2 открыт сверху, и в него падают в случайной ориентации Г-тримино (см. рисунок).

  а) Упало <i>k</i> тримино. Найдите математическое ожидание высоты получившегося многоугольника.

  б) Упало 7 тримино. Найдите вероятность того, что сложенная из тримино фигура будет иметь высоту 12. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65777/problem_65777_img_2.png"></div>

В выпуклом многоугольнике, в котором нечётное число вершин, равное  2<i>n</i> + 1,  выбирают независимо друг от друга две случайные диагонали.

Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри многоугольника.

На заводе имени матроса Железняка изготавливают прямоугольники длиной 2 м и шириной 1 м. Длину отмеряет рабочий Иванов, а ширину, независимо от Иванова, отмеряет рабочий Петров. Средняя ошибка у обоих нулевая, но Иванов допускает стандартную ошибку измерения (стандартное отклонение длины) 3 мм, а Петров допускает стандартную ошибку 2 мм.

  а) Найдите математическое ожидание площади получившегося прямоугольника.

  б) Найдите стандартное отклонение площади получившегося прямоугольника в квадратных сантиметрах.

На соревнования приехали 10 теннисисток, из них 4 из России. По правилам для проведения первого тура теннисистки разбиваются на пары случайным образом. Найдите вероятность того, что в первом туре все россиянки будут играть только с россиянками.

Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна <i>p</i>.

  a) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.

  б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.

В выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две случайные диагонали.

Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри – то есть не в вершине).