Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 4-5 с решениями
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P<sub>1</sub> </i>,<i> P<sub>2</sub> </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P<sub>2</sub> </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>1</sub> </i>и<i> P<sub>3</sub> </i>,<i> P<sub>3</sub> </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>2</sub> </i>и<i> P<sub>4</sub> </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif"> из этих <i>k</i>-угольников.
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.