Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 3 с решениями
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором ∠<i>B</i> = 120°. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса. Докажите, что ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub></i> и <i>CH<sub>C</sub></i>.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников <i>AH<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, BH<sub>A</sub>H<sub>C</sub></i> и <i>CH<sub>A</sub>H<sub>B</sub></i> равен треугольнику <i>H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub></i>.
По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?
На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.