Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 5 с решениями
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
Пусть<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>, ...,<nobr><i>l</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>, ...,<i>X</i><sub><i>n</i></sub>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i><sub><i>k</i></sub>в точке<i>X</i><sub><i>k</i></sub>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...