Олимпиадные задачи по математике для 6-8 класса - сложность 4 с решениями
Дан правильный 17-угольник <i>A</i><sub>1</sub>... <i>A</i><sub>17</sub>. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>10</sub>, <i>A</i><sub>13</sub><i>A</i><sub>14</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>6</sub>, <i>A</i><sub>14</sub><i>A</i><sub>15</sub>, равны.
Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>. Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i><sub>1</sub>. Точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.