Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.
Докажите, что если <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>z</sub> ≥ x + y + z</i>, то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство <i>x<sup>–k</sup> + y<sup>–k</sup> + z<sup>–k</sup> ≥ x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> + z<sup>k</sup></i>.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">
Для некоторых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> выполняется неравенство <i>x</i>² + <i>y</i>³ ≥ <i>x</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup>. Докажите, что <i>x</i>³ + <i>y</i>³ ≤ 2.
В равнобедренном треугольнике<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>) точка<i> O </i>– центр описанной окружности. Точка<i> M </i>лежит на отрезке<i> BO </i>, точка<i> M' </i>симметрична<i> M </i>оносительно середины<i> AB </i>. Точка<i> K </i>– точка пересечения<i> M'O </i>и<i> AB </i>. Точка<i> L </i>на стороне<i> BC </i>такова, что<i> <img src="/storage/problem-media/108215/problem_108215_img_2.gif"> CLO = <img src="/storage/problem-media/108215/problem_108215_img_2.gif"> BLM </i>. Докажите, что точки<i> O </i>,<i> K </i>,<i> B </i>,<i> L </i>ле...