Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.

Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из <i>N</i> авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  <i>N</i> – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника1<i>x </i>1994. Если соседняя справа от карточки с числом<i> n </i>клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом<i> n+</i>1. Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.