Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100<sup>100</sup> ?
Дан правильный 12-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub>.
Можно ли из 12 векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif"> выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?