Олимпиадные задачи по математике для 6-8 класса - сложность 3 с решениями

На квадратный лист бумаги со стороной <i>a</i> посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше <i>a</i>.

В прямоугольной таблице <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов  (<i>m < n</i>).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин.

Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

Числа от 1 до 1000 расставлены по окружности.

Доказать, что их можно соединить 500 непересекающимися отрезками, разность чисел на концах которых (по модулю) не более 749.