Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω с центром <i>O</i>. Окружность Ω<sub>1</sub>, построенная на <i>AO</i> как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω<sub>2</sub> треугольника <i>OBC</i> в точке <i>S</i>, отличной от <i>O</i>. Касательные к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>A, S</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.