Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса - сложность 2-5 с решениями
Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взята такая точка <i>P</i>, что ∠<i>PBA</i> = ∠<i>PCD</i> = 90°. Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>, причём <i>BM = CM</i>.
Докажите, что ∠<i>PAB</i> = ∠<i>PDC</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>AB > BC</i>. Касательная к его описанной окружности в точке <i>B</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>D</i> симметрична точке <i>B</i> относительно точки <i>P</i>, а точка <i>E</i> симметрична точке <i>C</i> относительно прямой <i>BP</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABED</i> – вписанный.
Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.
Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
Окружность<i> σ </i>касается равных сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>равнобедренного треугольника<i> ABC </i>и пересекает сторону<i> BC </i>в точках<i> K </i>и<i> L </i>. Отрезок<i> AK </i>пересекает<i> σ </i>второй раз в точке<i> M </i>. Точки<i> P </i>и<i> Q </i>симметричны точке<i> K </i>относительно точек<i> B </i>и<i> C </i>соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> PMQ </i>касается окружности<i> σ </i>.