Олимпиадные задачи по математике для 8-9 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, точка <i>H</i> – основание высоты, опущенной из вершины <i>B</i>. Описанные окружности треугольников <i>AHN</i> и <i>CHM</i> пересекаются в точке <i>P</i>   (<i>P ≠ H</i>).  Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Касательная к его описанной окружности в точке <i>B</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>D</i> симметрична точке <i>B</i> относительно точки <i>P</i>, а точка <i>E</i> симметрична точке <i>C</i> относительно прямой <i>BP</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABED</i> – вписанный.

Окружность<i> σ </i>касается равных сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>равнобедренного треугольника<i> ABC </i>и пересекает сторону<i> BC </i>в точках<i> K </i>и<i> L </i>. Отрезок<i> AK </i>пересекает<i> σ </i>второй раз в точке<i> M </i>. Точки<i> P </i>и<i> Q </i>симметричны точке<i> K </i>относительно точек<i> B </i>и<i> C </i>соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> PMQ </i>касается окружности<i> σ </i>.

Точки<i> A' </i>,<i> B' </i>и<i> C' </i>"– середины сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>соответственно, а<i> BH </i>"– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников<i> AHC' </i>и<i> CHA' </i>окружности проходят через точку<i> M </i>, отличную от<i> H </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> ABM=<img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> CBB' </i>.