Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса - сложность 3 с решениями
Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.
Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.
При каких <i>n</i> > 3 правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
Дан треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>I</i> – центр его вписанной окружности, и пусть <i>X, Y, Z</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AIB, BIC</i> и <i>AIC</i> соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника <i>XYZ</i> совпадает с <i>I</i>. Обязательно ли тогда треугольник <i>ABC</i> равносторонний?
На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника. Боря – что можно на два прямоугольных, а Вася – что на два тупоугольных.
Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?
В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?
На кольцевом треке 2<i>n</i> велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее <i>n</i>² встреч.
На окружности отметили <i>n</i> точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения <i>n</i>, при которых это возможно.
Дан выпуклый <i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. Пусть <i>P<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>) – такая точка на его границе, что прямая <i>A<sub>i</sub>P<sub>i</sub></i> делит его площадь пополам. Известно, что все точки <i>P<sub>i</sub></i> не совпадают с вершинами и лежат на <i>k</i> сторонах <i>n</i>-угольника. Каково а) наименьшее; б) наибольшее возможное значение <i>k</i> при каждом данном <i>n</i>?
На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.
Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?
Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.
Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего <i>n</i>-угольника с его вершинами, делят <i>n</i>-угольник на <i>n</i> равных треугольников.
При каком наименьшем <i>n</i> это возможно?
При каком наименьшем n существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?
Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".
Экзаменатор: "Неверно".
Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".
Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?
Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?
При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники<i> ABC </i>и<i> ACD </i>.
Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> так, чтобы выполнялись равенства <i>AB = A'B', AC = A'C'</i> и
∠<i>B</i> = ∠<i>B'</i>. Существуют ли три попарно похожих треугольника?
Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.
Восстановите прямоугольный треугольник <i>ABC</i> (∠<i>C</i> = 90°) по вершинам <i>A, C</i> и точке на биссектрисе угла <i>B </i>.
В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его. <center><i> <img src="/storage/problem-media/110752/problem_110752_img_2.gif"> </i></center>
На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен <i>коэффициент</i> каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.