Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место точек в квадрате (Френкин Б. Р.)

  Ясно, что середина гипотенузы лежит внутри квадрата. Если концы гипотенузы лежат на противоположных сторонах квадрата, то её середина лежит на соответствующей средней линии. Пусть теперь концы X и Y гипотенузы треугольника XYZ принадлежат соответственно сторонам AB и AD квадрата ABCD, а вершина Z – стороне BC (см. рис.). Обозначим через O середину XY. Точки A и Z лежат на окружности с диаметром XY; поэтому

OA = OX = OY = OZ,  и расстояние от O до A меньше, чем до других вершин квадрата, но не меньше, чем расстояние от O до прямой BC.

  Геометрическим местом точек, равноудаленных от A и BC, является парабола с фокусом A и директрисой BC (вершиной этой параболы является середина AB). Значит, точка O лежит между BC и этой параболой в четверти квадрата, содержащей A. При этом точка O может попасть на параболу, но не может – на среднюю линию (иначе точка Y совпадёт с B).

  Рассмотрев аналогично другие случаи расположения вершин треугольника и объединив полученные области, получим криволинейный восьмиугольникP, ограниченный дугами восьми парабол. ВершинамиPявляются середины сторон квадрата (они не лежат в ГМТ) и точки пересечения парабол с его диагоналями. При этом средние линии квадрата лежат вP; значит, и искомое ГМТ содержится в нём. Осталось показать, что любая точкаOэтого восьмиугольника, кроме середин сторон квадрата, принадлежит ГМТ.   ЕслиOлежит на средней линии, параллельнойAB, и расстояние от неё доADне превосходит расстояния доBC, то можно в качестве концов гипотенузыXиYвзять проекцииOнаABиCD, а в качестве вершины прямого угла – одну из точек пересечения окружности с диаметромXYи стороныAD. Если же точкаOлежит в четверти квадрата, содержащейA, между параболой с фокусомAи директрисойBCи соответствующей средней линией, то в качествеXиYвозьмём вторые точки пересечения окружности с центромOи радиусомOA, а в качествеZ– точку пересечения этой окружности со сторонойBC(такая точка существует, так как расстояние отOдоBCне превосходитOA, а расстояния до точекBиC– превосходят).

Все точки криволинейного восьмиугольника, ограниченного дугами восьми парабол с фокусами в вершинах квадрата и директрисами, содержащими несмежную сторону, кроме середин сторон квадрата (см. рис.).