Олимпиадные задачи по математике для 7-9 класса - сложность 3-5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На сторонах угла взяты точки <i>A, B</i>. Через середину <i>M</i> отрезка <i>AB</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, другая – в точках <i>A</i>₂ , <i>B</i>₂. Прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂<i>B</i>₁ пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>M</i> – середина <i>PQ</i>.

Дана окружность, точка<i> A </i>на ней и точка<i> M </i>внутри нее. Рассматриваются хорды<i> BC </i>, проходящие через<i> M </i>. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников<i> ABC </i>, касаются некоторой фиксированной окружности.

Точки <i>A', B', C'</i> – основания высот остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность с центром <i>B</i> и радиусом <i>BB'</i> пересекает прямую <i>A'C'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> (точки <i>K</i> и <i>A</i> лежат по одну сторону от <i>BB'</i>). Докажите, что точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>CL</i> лежит на прямой <i>BO</i>, где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Две прямые, симметричные прямой <i>AC</i> относительно прямых <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что прямая <i>BK</i> проходит через центр <i>O</i> описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.

Найдите все положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀, удовлетворяющие при всех  <i>k</i> = 1, 2,..., 10  условию   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i>)(<i>x_k + ... + x</i>₁₀) = 1.

Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)

В точке <i>X</i> сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках <i>A, B</i> и <i>C</i>, блокируют его, то есть точка <i>X</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки <i>A, B</i> и <i>C</i> (известно, что точка <i>X</i> ни разу не попала на сторону треугольника)?

  На плоскости даны три прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, <i>l</i>₃, образующие треугольник, и отмечена точка <i>O</i> – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки <i>X</i> плоскости обозначим через <i>X_i</i> точку, симметричную точке <i>X</i> относительно прямой <i>l_i</i>,  <i>i</i> = 1, 2, 3.

  а) Докажите, что для произвольной точки <i>M</i> прямые, соединяющие середины отрезков <i>O</i>₁<i>O</i>₂ и <i>M</i>₁<i>M</i>...

Дана окружность с центром <i>O</i> и радиусом 1. Из точки <i>A</i> к ней проведены касательные <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>M</i>, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники <i>OBMC</i> и <i>ABMC</i> имеют равные площади. Найдите <i>MA</i>.

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.

Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>K</i>, причём точка <i>K</i> делит ломаную <i>ACB</i> на две части равной длины. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный.

В интервале (0;$\pi$) дано <i>n</i> чисел: <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha_{2}$ --> $\alpha_{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$, при этом <!-- MATH $\alpha_{1}+ \alpha_{2}+\ldots+ \alpha_{n}= \pi (n-2)$ --> $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(<i>n</i> - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, внутренние углы которого равны соответственно <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha {2}$ --> $\alpha{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?

Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. Постройте путь луча из <i>A</i> в <i>B</i>, который отражается от прямой <i>l</i> по следующему закону: угол падения на $\varphi$ меньше угла отражения.

От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.

Какое максимальное число осей симметрии, может иметь объединение <i>k</i> отрезков на плоскости?

Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70^<tt>o</tt> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130^<tt>o</tt>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>D</i>, <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>DE</i> = <i>BE</i>, <i>FE</i> = <i>CE</i>. Докажите, что центр описанной около треугольника <i>ADF</i> окружности лежит на биссектрисе угла <i>DEF</i>.